Geometria ma dwa cenne skarby: jeden to twierdzenie Pitagorasa, drugi to podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze można porównać do miary złota. Drugie jest niby klejnot (kamień) drogocenny.

Johannes Kepler 1571-1610

 

Piękno polega na harmonii między częściami i między nimi a całością

Albreht Dürer 1471-1528

 

Dla miłośników precyzji, złoty stosunek przedstawiony do 618 miejsca po przecinku:

 

1.61803398874989484820458683436563811772030917980576286213944862270526046281890244970

7207204189391137484794088075386891752126633862223536931793180060766726354433390865959

3958290563832266131992829026788067520876689250171169620732221043216269548626296313614

438149758701220340805887954454749246185695364964449249241044320771344470495658467885

0987433944221254487706647809158846074998871240076521705751797883416625624940758906970

400002812104276217711177780531531714101170466659914669798731761356006708748071O131795

23689427521948435305678300228756997829778347845878228911097625003026961561170025046

4338243776486102838312683303

 

Na wstępie chciałbym zastrzec, że deska, z uwagi na zakres tematu oraz ogrom związanych z nim kwestii jest jedynie przywołaniem najważniejszych, jak sądzę jego aspektów i niech będzie przyczynkiem do własnych poszukiwań SS.: i BB.: Każdy z nas miał moment, w którym patrząc na rzecz, dzieło, roślinę, zjawisko, słuchając muzyki lub innego dźwięku, odczuwał iż jest ono szczególnie mu bliskie, odpowiednio skomponowane, harmonizujące w jakiś szczególny sposób z jego wnętrzem – PIĘKNE, choć w sposób, którego nie potrafimy niejednokrotnie zdefiniować (i który trudno określić słowami). Uczucie to towarzyszy nam w różnych, niejednokrotnie zaskakujących nas sytuacjach i miejscach.

 

Czym jest piękno i czy jego istotę potrafimy zdefiniować? A jeśli tak, to w jaki sposób i jakich narzędzi musimy do tego użyć? Czy można go zdefiniować przy pomocy matematycznych wzorów i terminów? Jeśli tak, to jakie uniwersalne prawo geometryczne łączy prace wielkich artystów i architektów od Witruwiusza do le Corbusiera, od Leonarda da Vinci do Salvadora Dali ze zjawiskami przyrody tak odległymi jak ułożenie ziaren w słoneczniku czy kształty galaktyk? Zaskakującym jest fakt iż istnieje taki związek. Związek który odzwierciedla jedna, znana od wieków liczba: złota proporcja ”sectio aurea”, nie bez powodów zwana „divina” (proportio) czyli – boska, która w sposób jednoznaczny i ścisły opisuje rzeczy i zjawiska które postrzegamy jako ład i harmonię w naturze i w sztuce. Odnajdziemy ją zarówno w doskonałych proporcjach naszego ciała (człowiek witruwiański Leonarda daVinci, Modulor Le Corbusiera), budowlach Akropolu, obrazie ostatniej wieczerzy Salvadora Dali, w sposobie, w jaki uformowane są kwiaty i liście wielu roślin (płatki róży czy szyszka pinii), w niezwykłym kształcie muszli nautilusa, wreszcie w strukturze spiralnych galaktyk, czy, stosowanym w finansach, algorytmie handlowym zwanym wiatrakiem Fibonacciego.

 

Złoty podział znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Na przestrzeni wieków proporcja zw. ze złotym podziałem doczekała się wielu nazw. I tak złoty podział (łac.: sectio aurea) jest często nazywany złotym stosunkiem albo złotym środkiem. Inne nazwy to złoty sposób, średni podział, boska proporcja, boski podział (łac.: sectio divina), złota proporcja, złote cięcie, złota liczba i środek Fidiasza. Niezależnie od nazwy warto zwrócić uwagę iż znaczenie i doskonałość proporcji podkreśla niezmienne określenie ”złoty” lub „boski”. A wszystko wywodzi się z, wydawało by się banalnego, podziału odcinka na dwie części.

 

Już starożytni grecy uważali że wśród możliwych podziałów odcinka na dwie części jest taki, w którym otrzymane części mają wyjątkowo piękne proporcje. Taki podział określany jest właśnie jako: złoty podział (łac. sectio aurea), podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja (łac. divina proportio). Jest to podział dowolnego odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Przy takim podziale, niezależnie od długości odcinka stosunek składowych a:b jest zawsze niezmienny, a liczba równa temu stosunkowi nazywana jest złotą liczbą i na cześć greckiego rzeźbiarza i architekta Fidiasza, w dziełach którego spotykamy złotą proporcję, oznaczana grecką literą: f, F [phi] (od pierwszej litery jego imienia – nazwę zaproponował w XX w. Mark Barr).

[ W literaturze spotykamy się również z oznaczeniem jej literą t [tau] ]

a:b = (a + b) : a = 1.6180339887 = F

 

Jest wiele sposobów określenia wartości złotej liczby, jednym z nich jest, przedstawiające dodatni pierwiastek niewymierne (rozwiązanie) równania kwadratowego x2– x -1 + 0, gdzie a=1, b=1-x, a+b =x, wyrażenie: F = 1+ (5)1/2 / 2 = 1.6180339887…

 

Obecnie znamy wiele różnych zapisów liczby F:

Złoty podział jako pierwszy wyrysował Hippasus w Vw. p.n.e., natomiast Euklides z Aleksandrii (ok. 325-265 p.n.e.) w swym dziele Elementy geometrii… (308 p.n.e.) podał pierwszą pisaną definicję złotego podziału: [Składające się z 13 ksiąg Elementy geometrii, to po Biblii i Dziełach Lenina, najczęściej tłumaczone i wydawane dzieło pisane w historii]

 

„Powiemy że linia prosta została podzielona harmonicznie, gdy większy odcinek ma się tak do mniejszego, jak jego całość do większego” lub zwięźlej: „Całość ma się tak do większej części, jak większa do mniejszej”. W swym dziele Euklides wyjaśnia sposób podziału odcinka „w złoty sposób” oraz przytacza kilka dowodów i twierdzeń stosujących złoty podział.

 

Złota liczba ma wiele ciekawych właściwości, np.:

• aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę
• aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć od niej jedynkę.

 

Można podać jeszcze szereg innych równie ciekawych jej właściwości lecz ich omówienie ze względu na ograniczony czas pominiemy. Jednym z klasycznych sposobów uzyskania harmonicznego – złotego podziału odcinka jest konstrukcja jak niżej:

 

1. Konstruujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i a/2.
2. Zakreślamy łuk okręgu o środku w C i promieniu CB przecinający naprzeciw prostokątną.
3. Zakreślamy łuk o środku w punkcie A i promieniu AS. Przetnie on odcinek AB w punkcie złotego podziału.

 

Z pojęciem złotego podziału ściśle wiąże się pojęcie złotego prostokąta, złotego trójkąta czy wreszcie pięciokąta gwiaździstego.

 

ZŁOTY PROSTOKĄT

 

W wielu, nieraz zaskakujących miejscach spotykamy prostokąt o szczególnych proporcjach, zwany złotym prostokątem. Taki kształt mają powszechnie używane karty kredytowe, wizytowe, prawa jazdy i dowody osobiste, format wydawniczy książek i czasopism, formaty zdjęć i klisz fotograficznych. Korzystamy z nich codziennie nie zdając sobie sprawy że większość z nich ma ten sam rozmiar i kształt lub przynajmniej proporcję.  Cechą z której wypływają szczególne własności złotego prostokąta, jego szczególne piękno, jest fakt iż stosunek jego boków jest równy złotej proporcji czyli liczbie F.

 

 

Konstrukcja złotego prostokąta jest prosta: Rysujemy kwadrat. Z połowy jego podstawy zakreślamy łuk o promieniu opartym na jego naprzeciwległym wierzchołku. Z miejsca przecięcia łuku z przedłużeniem odcinka podstawy budujemy prostokąt. Przykładem złotego prostokąta w życiu masońskim jest znajdujący się w każdej loży obraz, jakże ważnego, bruku mozaicznego.

 

 

 

Zauważyć można charakterystyczną cechę złotego prostokąta, mianowicie jeśli ze zbudowanego złotego prostokąta odetniemy kwadrat, pozostanie prostokąt, również złoty. I dalej tworząc dowolnie małe złote prostokąty przez kolejne odcinane kwadratów w każdym z nich kreśląc przekątne, stwierdzamy że wszystkie one leżą na przekątnych prostokąta pierwotnego oraz pierwszego mniejszego powstałego z wydzielenia jego kwadratu. Punkt przecięcia przekątnych jest stały, choć każdy kolejny prostokąt ma wymiary F razy mniejsze od poprzedniego. Starożytni zauważyli że niektóre figury powiększają rozmiary, zawsze zachowując przy tym kształty. Taką zmianę nazywamy wzrostem gnomonicznym.

 

PROSTOKĄT ”PIERWIASTEK Z 2”

 

Innym ciekawym prostokątem, aczkolwiek nie zachowującym dokładnie złotej proporcji jest tzw. ”Prostokąt Pierwiastek z 2” o proporcji odpowiadającej pierwiastkowi kwadratowemu z dwóch. Konstrukcje zaczynamy od kwadratu, natomiast łuk wyznaczający kolejny wierzchołek, zataczamy nie ze środka podstawy, lecz z wierzchołka. Charakterystyczną cechą takiego prostokąta jest to że gdy podzielimy dłuższy z boków na połowę otrzymujemy kolejny prostokąt pierwiastek z 2 o powierzchni o połowę mniejszej. Iterują powyższy proces otrzymujemy kolejne prostokąty. Ta właściwość została wykorzystana przez inż. Waltera Potsmana przy podziale arkusza o formacie A-0 i powierzchni 1m2 na kolejne mniejsze: A-1, A-2, A-3, A-4. Podział każdej jednostko na pół pozwala zachować niezmienne proporcje prostokąta.

 

INNE PROSTOKĄTY

 

Wśród wielu innych prostokątów o szczególnych własnościach można jeszcze wymienić: ”Srebrny Prostokąt” – powstały z dodania do w/w ”prostokąta pierwiastek z dwóch” kwadratu o boku równym jego wysokości. Elementy o tej proporcji często stosowane były w wydłużonych portalach świątyń, oraz tzw. ”Prostokąt Kordoby”, którego bokami są promień okręgu oraz bok wpisanego w ten okrąg ośmiokąta. Ten nieco mniej wydłużony od złotego, prostokąt jest często spotykany w architekturze muzułmańskiej hiszpańskiej Kordoby.

 

ZŁOTA LICZBA I SPIRALE

 

Wiele ze spotykanych w naturze, najwspanialszych przejawów złotej proporcji (liczby F) odzwierciedlonych jest w postaci spirali. Zbudowanie takiej spirali jest b. proste. Zacznijmy od Złotego Prostokąta od którego będziemy kolejno odejmować kwadraty, otrzymując nowe Złote Prostokąty. W każdym z odjętych kwadratów wpiszmy ćwiartkę okręgu o promieniu równym bokowi kwadratu i środku w wierzchołku wspólnym dla kwadratu i otrzymanego Złotego Prostokąta, czyli w punktach F,G,J,M,… Spirala , dzięki zachowaniu złotej proporcji, jest krzywą której kształt nie zmienia się ani przy powiększeniu ani przy zmniejszeniu. Cecha ta to tzw. samopodobieństwo. Kolejną cechą jest równokątność tzn. kąt przecięcia promienia w dowolnym punkcie spirali jest zawsze taki sam. Narysowana przez nas spirala jest doskonałym przybliżeniem spirali logarytmicznej. Warto wspomnieć iż jeden z przedstawicieli licznego rodu Bernoullich, Jakub (1654-1705) tak wiele lat poświęcił na badanie własności takiej spirali iż poprosił by jej obraz wyryto na jego nagrobku z wiele mówiącym napisem: Eadem mutato resurso – Choć przekształcona odradza się niezmieniona. Szczególne zainteresowanie spiralą jak i innymi przejawami złotej proporcji przejawiał holender Mauritius Cornelius Escher (1898-1972)znany ze swoich figur niemożliwych, markietaży i światów wyobrażonych.

 

PIĘCIOKĄT FOREMNY, PENTAGRAM – PIĘCIOKĄT GWIAŹDZISTY

 

Pięciokąt foremny, jakże ważna figura z punktu widzenia złotego podziału. Figura znana już Asyryjczykom, choć nie potrafili jej skonstruować. Trudności mieli również, nieznający pojęcia niewymierności oraz posługujący się jedynie linijką i cyrklem Grecy. Lecz można taki pięciokąt foremny zbudować wpierając się złotym podziałem, liczbą F. Analizując konstrukcję dochodzimy do wniosku że w pięciokącie foremnym stosunek przekątnej do boku odpowiada złotej proporcji , liczbie F., natomiast przekątne przecinają się w złotym stosunku. Gdy uporządkujemy długości boków w pięciokącie, to stosunek między każdym z nich a następnym jest stały i równy złotej liczbie. W pentagramie, wszystkie brzegowe odcinki przecinają się ze sobą w złotej proporcji. Również dla wszystkich tworzących go dziesięciu trójkątów równoramiennych, stosunek boku krótszego do dłuższego wynosi F a trójkąty ostrokątne są trójkątami złotymi. Warto pamiętać, że Pitagorejczycy jako swego symbolu używali gwiazdy wpisanej w pięciokąt foremny. Jest to również symbol czeladnika w loży masońskiej. [Znane jest określenie „pępek Pitagorasa” odnoszące się do doskonałej proporcji człowieka. Jest to stosunek odległości pępka człowieka od ziemi do jego wzrostu, zazwyczaj wynosi 1:1.6 (czyli złoty podział)].

 

ZŁOTY TRÓJKĄT

Kolejną figurą geometryczną posiadającą szczególne własności i zasługującą na miano złotej, jest ”złoty trójkąt”. Jest to trójkąt równoboczny dla którego stosunek między dłuższym a krótszym bokiem jest równy złotej proporcji F. Złoty trójkąt tworzą wysokości oraz boki dziesięciokąta foremnego. Złoty trójkąt posiada własność analogiczną jak złoty prostokąt, mianowicie bisekcja (czyli równy podział) kąta B tworzy nowy trójką BCD podobny do danego. Podobnie stosunek ich powierzchni jest równy F. Podczas gdy odwrotna proporcja to F – 1.

 

ZŁOTY RĄB

Złoty rąb to taki rąb, w którym długości przekątnych są do siebie w złotym stosunku. Z figury tej można zbudować trzydziestościan rąbowy.

 

TRÓJKA PITAGOREJSKA 3:4:5, TRÓJKĄT KEPPLERA

 

Ściśle związany ze złotą proporcją 47-my problem Euklidesa, bardziej znany w naszej kulturze pod nazwą twierdzenia Pitagorasa jest jednym z symbolicznych klejnotów Dawnego Mistrza. Jedną ze szczególnie pięknych ilustracji twierdzenia jest odzwierciedlenie trójkąta Keplera – gdzie składowymi są tzw liczby doskonałe, tj. ”[phi]” oraz liczba ”1”, boki: p.p1, p.p f, n.p. f2 .

 

WIELOŚCIANY

 

Wielościany to bryły ograniczone przez ściany będące wielokątami. Wielościan nazywamy foremnym gdy wszystkie jego ściany są jednakowymi wielokątami foremnymi i w każdym wierzchołku zbiega się ta sama liczba krawędzi. Zaskakującym jest że przy wielości wielokątów foremnych,wielościanów foremnych jest tylko pięć. Nazywamy je wielościanami platońskimi. Trzy z nich mają ściany będące trójkątami równobocznymi – czworościan, ośmiościan i dwudziestościan, w sześcianie ściany są kwadratami, a w dwunastościanie pięciokątami foremnymi. W starożytności każdemu z wielościanów przypisywano żywioł. Sześcian – ziemia, czworościan – ogień, ośmiościan – powietrze, dwunastościan – woda, dwudziestościan – kosmos. Najsilniejszy związek ze złotą proporcją mają: zbudowany z pięcioboków – dwunastościan, oraz dualny z nim dwudziestościan. Masonowi nieodłącznie towarzyszą foremne sześciany kamienia kubicznego oraz nieociosanego, przypominające nie kończącą się, przebytą oraz pozostającą wciąż przed nami, drogę w dążeniu do doskonałości i harmonii.

 

CIĄG FIBONACIEGO

 

Związana tak ściśle z geometrią, złota liczba została odkryta w zbiorze ułamków związanych z czysto arytmetycznym ciągiem liczbowym. Odkrywcą tego związku był najwybitniejszy matematyk średniowiecza Leonardo z Pizy zwany Fibonacci (1170-1250). Fibonacci, syn kupca w czasie wielu podróży spotykał się z muzułmańskimi mistrzami, od których nauczył się indo-arabskiego systemu liczbowego. Najprawdopodobniej jego konsekwencji i wytrwałości zawdzięczamy obecny sposób liczenia. W swym dziele z 1202 roku, Liber Abaci obok teorii liczb i metod liczenia przytacza proste zadania algebraiczne, a wśród nich jedno które zostało sformułowane tak: Ile par królików będziemy mieli na końcu roku, jeśli zaczniemy w styczniu z jedną parą królików, ta w każdym miesiącu, poczynając od marca, wyda na świat kolejną parę królików i z każdej pary urodzą się kolejne pary, po dwóch miesiącach od narodzin? Rozwiązując to zadanie zauważamy dziwną regularność: liczba narodzin w kolejnych miesiącach jest równa sumie liczb, które ją poprzedzają a stosunek kolejnych wyrazów ciągu, zbliża się do złotego podziału asymptotycznie.

 

Ciąg Fibonaciego charakteryzują zaskakujące cechy np.:

• wybierając z ciągu dowolne dziesięć kolejnych liczb zawsze otrzymamy wielokrotność 11. np. 1+1+2+3+5+8+13+34+55 = 11×13
• każda taka suma jest równa siódmemu składnikowi pomnożonemu przez 11 7-my składnik to 13,
• dodając n początkowych wyrazów otrzymujemy wyraz n+2 – pierwszy wyraz.

Dzięki związkowi ze złotą proporcją oraz logarytmicznemu charakterowi wykresu, ciąg opisuje wiele zjawisk współczesnej nauki.

 

ZŁOTA PROPORCJA PIĘKNO I DOSKONAŁOŚĆ

 

Nowożytna historia złotego podziału wiąże się z dziełem De divina proportione Luca Pacioliego (1445-1517) napisanym w 1498r. a opublikowanym w 1509roku. To on, wraz z ilustrującym jego dzieło Leonardem da Vinci, wprowadził złotą proporcję do świata piękna i sztuki. W swym trzytomowym dziele, ten franciszkański mnich i wyedukowany pasjonat sztuki, znany głównie jako matematyk, określa ją jako „doskonałą proporcję” i doradza użycie złotego podziału w celu uzyskania pięknych, harmonijnych proporcji. W Książce znajdują się rysunki mistrza Leonarda przedstawiające sześćdziesiąt wielościanów, a także jego słynnego „człowieka idealnego” zwanego też „człowiekiem witruwiańskim” bądź „homo ad circulum”, opartego na liczbie F i na przestrzeni lat odtwarzanego w najróżniejszych wersjach. [Znany jest portret Luca Paciolego (przypisywany Jacopowi Barbieriemu)na którym mistrz i uczeń otoczeni są wielościanami i przyrządami geometrycznymi.].

 

Leonardo da Vinci (1452-1519) geniusz posiadający ogromne dokonania niemal we wszystkich dziedzinach nauki i sztuki Odrodzenia, od matematyki, fizyki i chemii, poprzez medycynę, inżynierię, technikę malarstwo po architekturę, był głęboko przekonany o związkach sztuki z matematyką. Jego Trattato della pitura( Traktat o malarstwie) (1498 wyd. 1550) zaczyna się od zdania: „Niechaj nikt nie czyta moich prac, kto nie jest matematykiem”. Leonardo idąc śladem ideałów Odrodzenia w swym sztychu odzwierciedlającym idealne proporcje ludzkiego ciała (człowiek witruwiański), umieścił postać człowieka w Centrum Wszechświata, wpisaną w okrąg i kwadrat spełniając w ten sposób kanon zalecany przez architekta Juliusza Cezara z I w. n.e. Marcusa Vitruviusa Pollio w jego dziele O architekturze ksiąg dziesięć. Stąd nazwa „człowiek witruwiański Witruwiusz opisując postać ludzką stwierdza, że wzrost człowieka jest równy zasięgowi jego rozłożonych ramion, a wyciągnięte ręce i nogi człowieka leżącego na plecach wyznaczają okrąg. Jego spostrzeżenia były znane od wieków, jednak dopiero Leonardo odważył się odejść od współśrodkowości obu figur. Genitalia stanowią środek kwadratu a pępek wyznacza środek okręgu. Wynikające z tego sztychu idealne proporcje ludzkiego ciała odpowiadają złotemu stosunkowi między bokiem kwadratu a promieniem okręgu. Ukazany na sztychu człowiek idealny reprezentuje proporcje dorosłego człowieka, stanowiące od czasów antyku artystyczny kanon idealnej postaci ludzkiej: Wzrost (całkowita wysokość) = zasięg rąk (odległość pomiędzy końcami palców rozciągniętych rąk) = 8 dłoni = 6 stóp = 8 twarzy = 1.618 x wysokość pępka (liczona od podłogi).

 

[Kanony greckie:

• kanon Polikleta, wg którego wysokość człowieka ma 7 modułów, w tym jeden moduł stanowi wysokość głowy jako 1/7.
• kanon Lizypa, wg którego wysokość człowieka ma 8 modułów, w tym głowa to 1/8 całości.

Kanon w starożytnym Rzymie:

• Witruwiusz wysokość człowieka to 10 modułów, moduł to wysokość głowy mierzona od brody do nasady włosów]

 

ZŁOTA LICZBA W MALARSTWIE

 

W dobie odrodzenia studia nad perspektywą i poszukiwanie idealnych proporcji połączyły artystów i uczonych. Skodyfikowano perspektywę, nastąpił rozwój geometrii rzutowej. W swym, dziele Traktat o malarstwie(1435) Leon Batista Alberti(1404-1472) dzięki podaniu reguł teoretycznych i praktycznych, ustalił kanony stosowania zasad perspektywy w malarstwie. Szesnastowieczny filo-zof Heinrich Agripp narysował człowieka na pentagramie wpisanym w koło, co sugeruje związek ze złotym podziałem. Swym poglądom na obecność złotej proporcji w ciele ludzkim Leonardo da Vinci dał wyraz rysując człowieka witruwiańskiego oraz komentując rysunek licznymi przypisami. W wielu dziełach Leonarda można doszukiwać się złotej proporcji np. w obrazie Mona Lisa czy w kompozycji Złotej wieczerzy. Pentagram w wielu dziełach służy za wzorzec komponowania przestrzeni, układu postaci ludzkich. Przykładem może być obraz Święta rodzina genialnego Michała Anioła (1475-1564).

 

Badania nad proporcjami prowadzi Albrecht Dürer wydając w 1525 Wskazówki do mierzenia za pomocą cyrkla i linijki tzw. Traktat o mierzeniu… Wolnomularze niejednokrotnie przywołują jego sztych Melancholia zawierający niemal wszystkie nasze atrybuty. Ze współczesnych, Salvado Dali pod wpływem prac Mati Ghyki, jawnie używał złotego podziału, np. w swoim arcydziele Sakrament ostatniej wieczerzy. Wymiary płótna są wymiarami złotego prostokąta. Ogromny dwunastościan przedstawiony w perspektywie tak, że jego krawędzie są do siebie w złotych proporcjach jest zawieszony ponad i za Jezusem, dominując w kompozycji. Przykładami stosowania złotej proporcji w sztuce są obrazy abstrakcjonistów jak Piet Mondrina (1872-1944), czy naszego abstrakcjonisty Kzimierza Malewicza (1879-1935). Według Wikipedii Pablo Tosto wymienił ponad 350 dzieł znanych artystów, z których ponad 100 miało płótna o proporcjach złotego prostokąta i pierwiastka z 5.

 

ZŁOTA PROPORCJA W ARCHITEKTURZE

 

Złota proporcja, w różnych częściach świata, pojawia się już w starożytności i poprzez wieki towarzyszy nam do dnia dzisiejszego. Spotykamy ją zarówno w starożytnym Egipcie – Wielka Piramida (Cheopsa) jak i antycznej Południowej Ameryce – Wrota słońca z Tiwanaku, czy też Ateńskiego Partenonu. 

 

Badając proporcje niektórych piramid zauważono, że połowa podstawy piramidy odpowiada połowie boku, tworząc trójkąt znany jako trójkąt Keplera. Piramida Cheopsa jest wyjątkowo zbliżona do „złotego ostrosłupa”. Jej nachylenie wynoszące 51° 52′ jest bardzo zbliżone do nachylenia „złotego” ostrosłupa równego 51° 50′ i nachylenia opartej na π piramidy równego 51° 51′. Kilka innych piramid egipskich również posiada wymiary o podobnych proporcjach oraz o proporcjach zbliżonych do 3:4:5, często nazywanych trójkątem egipskim.

Fasada Partenonu jak również wiele elementów na niej i w innych jego miejscach zawierają się w złotych prostokątach. Podobnymi związkami cechuje się wiele budowli antycznych oraz niejednokrotnie naśladujących je, obiektów o architekturze neoklasycznej, np. Palazzo Uffizi, bud. Kongresu Stanów Zjednoczonych, wzniesione w kształcie szklanej piramidy, wejście do Luwru.

 

Geometryczna analiza Wielkiego Meczetu z Kairouan ujawnia konsekwentne zastosowanie złotego podziału w wystroju. Można znaleźć go w ogólnych proporcjach planu i w wymiarach miejsca modlitwy, sądu i minaretu. Wielki złoty prostokąt dominuje na fasadzie budynku Uniwersytetu w Salamance. Również budowniczowie wielkich katedr stosowali w swych dziełach proporcje złotego podziału.

 

Le Corbusier wierzył w porządek matematyczny związany ze złotym podziałem i ciągiem Fibonacciego. Jawnie użył złotego podziału w swoim systemie skali proporcji architektonicznych Modulor. Uważał ten system za kontynuację długiej tradycji witruwiańskiej Leonarda da Vinci i innych używających proporcji ciała ludzkiego do udoskonalenia wyglądu i funkcjonalności architektury. Rozciągnął powiązania złotego podziału z proporcjami ciała ludzkiego do ekstremum: podzielił swoją modelową wysokość człowieka na dwie części w złotym stosunku na wysokości pępka, następnie podzielił uzyskane odcinki również w tej proporcji na wysokości kolan i szyi; używał tych proporcji w swoim systemie Modulor. Wiele jego dzieł zawiera elementy będące dobrym przybliżeniem złotych prostokątów. [ Złoty podział w architekturze to również temat na odrębną, jakże obszerną deskę.]

 

ZŁOTY PODZIAŁ W NATURZE

 

Od starożytności studiowano relacje pomiędzy różnymi częściami ciała ludzkiego. Ludzkie miary służyły za wzorzec pomiarowy. Proces ten znalazł kontynuację u budowniczych francuskich katedr, którzy używali instrumentu pomiarowego złożonego z5-ciu połączonych odcinków o długościach odpowiadających częścią ciała ludzkiego: dłoni, odległości między rozłożonymi palcami dłoni, pomiędzy palcem małym a wskazującym, długości łokcia i stopy. Wszystkie te długości są wielokrotnością miary, ówcześnie zwanej linią i wynoszącej ok. 2.247cm (cal), będącej długością obwodu palca. Jeśli zestawimy długości kolejnych odcinków i wyrazimy je w wyżej wymienionej podstawowej jednostce, tj. linii – ”L”, to dłoń, rozstaw palców, rozstaw dłoni, stopa i łokieć, odpowiadają kolejno: 24 L, 55 L, 89 L, 144 L, 233 L, czyli liczbom będącym kolejnymi wyrazami ciągu Fibonaciego. Tak więc stosunek każdej z tych wielkości do poprzedniej jest złotą proporcją i wynosi F.

 

Już starożytni dostrzegali tak częste prawidłowości rządzące światem roślin: ułożeniem liści na wspólnej gałązce płatków kwiatu np. róży, porządkiem koszyczków szyszki pinii, ułożeniem ziaren słonecznika i wiele innych. Lecz dopiero Leonardo da Vinci odkrył kluczowe zasady filotaksji [określenie pochodzenia greckie-go (phyllon – liść + taxis – porządek) dział botaniki zajmujący się układem liści na łodydze rośliny]. Nieco później Kepler zauważył, że pięciokąt ma duże znaczenie w morfologii kwiatów. W XIXw. Przyrodnik Karl Schimper (1803- 1867) i krystalograf Auguste Bravais (1811-1863) dostrzegli w szyszkach piniowych kolejne liczby ciągu Fibonaciego. Dostrzeżono że spiralna muszla nautilusa dzięki podobieństwu kolejnych przyrostów ma kształt niemal dokładnie zgodny z przebiegiem tzw. spirali Fibonacciego.

 

Adolf Zeising (1818-1876) niemiecki psycholog interesujący się matematyką i filozofią, badając wszechobecność proporcji, odkrył złoty podział w ułożeniu gałęzi na pniu roślin, ułożeniu liści i w nerwach liści. Rozszerzył badania na szkielety zwierząt i rozgałęzienia ich żył i nerwów, geometrię kryształów, uznając w zjawiskach tych złoty podział jako uniwersalne prawo i formułując je jako to …”zgodnie z którym działają wszystkie struktury, formy i proporcje, kosmiczne, organiczne i nieorganiczne, dźwiękowe i świetlne ale które najpełniej realizują się w formie ludzkiej”.

 

Współcześnie Volkmar i Harald Weissowie analizując dane psychometryczne doszli do konkluzji, że złoty podział jest podstawą cyklu fal mózgowych, co potwierdziły w 2010 roku badania neurobiologów. W 2010r, pismo Science ogłosiło, że złoty podział jest obecny w skali atomowej w rezonansie magnetycznym spinów w kryształkach niobu. Dostrzegamy go w kształtach galaktyk, kształtach wirów kosmicznych jak i rzecznych. Jest jak się wydaje niemal wszechobecny.

PODSUMOWANIE – PRZESŁANIE

 

Dla nas Masonów obok życia codziennego, w którym stykamy się z przejawami złotej proporcji , szczególnym miejscem gdzie niemal na każdym kroku z nim obcujemy jest, nasza świątynia Salomona – Loża. Rysowany na każdym spotkaniu obraz loży, to symboliczny obraz świątyni Salomona – wzniesionej z zachowaniem złotej proporcji.

 

A przecież mówiąc o złotym podziale, o boskiej proporcji, doskonałości dzieła ludzkiego, z punktu widzenia wolnomularza, nie sposób nie wspomnieć o świątyni Salomona oraz jakże nam bliskim jej budowniczym Hiramie Abifie.

 

Według przekazów oraz potwierdzających je badań zarówno budowla jak i wiele elementów jej wyposażenia, zaprojektowanych zostało z zachowaniem złotej proporcji. Dotyczyło to m.in. jej rzutu, proporcji wewnętrznego megaronu do całej budowli, proporcji i rytmu elewacji wschodniej jak również proporcji, elementu dla którego została wzniesiona, czyli przechowywanej w niej arki przymierza. [bardzo obszerny temat na odrębną deskę]

 

Mistrza Abifa, syna wdowy, przysłał potężny król Tyru, Hiram żeby kierował budową świątyni Salomona. Dzięki posiadanej wiedzy, doświadczeniu oraz ciągłemu dążeniu do harmonii (doskonałości), Mistrz swe obowiązki wypełniał z taką znajomością fachu oraz precyzją, iż dzieło aczkolwiek jeszcze nie ukończone, jawiło się pod każdym względem doskonałym. Jak każde wybijające się ponad przeciętność dzieło, budowla u jednych wzbudzała zachwyt oraz szacunek dla wierzy i biegłości budowniczego, u innych zaś zazdrość. Przed ukończeniem budowy zasadza się na Starego Mistrza kilku robotników; zabijają go, próbując wydobyć zawierające jego wiedzę ”słowo mistrza mularza”. Hiram ginie od uderzenia młotkiem kamieniarskim w głowę i zostaje pochowany w płytkim grobie przykrytym murawą. Hiram ginie lecz świątynia dzięki jego kunsztowi i pracy jest tak doskonała, iż do dnia dzisiejszego wpływa na emocje i umysły ludzi. Stanowi symbol wiedzy, doskonałości, przetrwania i odrodzenia się wartości uniwersalnych.

 

PRZESŁANIE

 

Korzystając z symboliki budowania świątyni, w swoim życiu wewnętrznym wolnomularz doskonali się, a potem rusza przed siebie z nastawieniem, by pomagać we wznoszeniu świątyń codziennego życia. I ważnym jest, byśmy w tej pracy podobnie jak Hiram Abif potrafili wznieść się na wyżyny piękna i doskonałości, byśmy o swym dziele mogli rzec: ...zrobiłem wszystko zachowując divina proportio…, oraz by inni mogli powiedzieć: … we wszystkim zachował sectio aurea.

B.: Grzegorz